(1.内蒙古工业大学 理学院,内蒙古 呼和浩特 010051; 2.呼和浩特民族学院 数学系,内蒙古 呼和浩特 010051)
(1.College of Sciences,Inner Mongolia University of Technology,Hohhot 010051,China; 2.Department of Mathematics,Hohhot University of Nationalities,Hohhot 010051,China)
Symmetry/adjoint symmetry pair method; shallow water wave equations; conservation laws
对称性反映的是偏微分方程(PDEs)结构方面的特点,守恒律反映的是PDEs运动方面的规律,而两者之间有着深层的依赖关系,深受数学、物理和力学专家们的注意.特别是1918年,Nöether[1]提出著名的守恒定理后,开启PDEs结缘力学、物理的新研究通道.随着人们的深入研究,构造PDEs的守恒律已经有了许多有效的方法,如对称-共轭对称‘对'方法[2-3]、乘子方法[4-5]、对称作用于已知守恒律方法[6-7]等等.同时,Wolf[8]、特木尔朝鲁[9]、Cheviakov[10]等学者推导出的PDEs守恒律的诸多计算程序包对后续研究帮助巨大.
本文基于对称-共轭对称‘对'方法来构造一维和二维浅水波方程组[11-12]的守恒律,并用守恒律成功推出二维浅水波方程组的解.
设x=(x1,x2,…,xn)为自变量,u=(u1,u2,…,um)为因变量,
给定PDEs系统为Pσ[u]=Pσ(x,u,u(1),u(2),…,u(s))=0,σ=1,2,…,m,(1)其中u(s)表示uα对xi的s阶偏导数.对xi的全导数定义为Di=∂/(∂xi)+uαi∂/(∂uα)+uαij∂/(∂uαj)+…,i=1,…,n,(2)其中uαi=Di(uα)=(∂uα)/(∂xi),uαij=Di(uαj)=DiDj(uα)=(∂2uα)/(∂xi∂xj).
为了便于工作,下面介绍三个定义.
定义1 若一个单参数Lie点变换群x*=x+εξ(x,u)+Ο(ε2),
u*=u+εη(x,u)+Ο(ε2),(3)使PDEs系统(1)保持不变,那么,单参数Lie点变换群(3)叫作(1)的点对称,且函数组ξ={ξi(x,u)}ni=1,η={ηρ(x,u)}mρ=1叫作点对称(3)的无穷小.
定义2 设PDEs系统(1)有如下Lie点对称形式(也称无穷小生成元)X=ξi(x,u)∂/(∂xi)+ηρ(x,u)∂/(∂uρ),(4)则它对应的无穷小生成元(4)的特征形似为(^overX)=(^overη)∂/(∂uα)=[ηα(x,u)-uαiξi(x,u)]∂/(∂uα),(5)它对应的无穷小生成元(4)的k阶延拓为X(k)=X+η(1)αi∂/(∂uαi)+…+η(k)αi1i2…ik, k≥1,(6)其中η(1)αi=Diηα-(Diξj)uαj,i=1,2,…,n,η(k)αi1i2…ik-1=Dikη(k-1)αi1i2…ik-1-(Dikξj)uαi1i2…ik-1j,j=1,2,…,n,il=1,2,…,n,l=1,2,…k.
定义3 对于给定的PDEs系统(1)的所有解u(x),它的一个局部守恒律可以由DiΦi[u]=0(7)给出,Φi[u]是流向量(守恒量).
下面介绍对称-共轭对称‘对'方法的有关知识.
(1)对于PDEs系统(1)所给定的线性算子(Fréchet导数)为Lσρ[U]Vρ=[(∂Pσ[U])/(∂Uρ)+(∂Pσ[U])/(∂Uρi)Di+…+(∂Pσ[U])/(∂Uρi1…ik)Di1…ik]Vρ,σ=1,…r,(8)其中U(x)=(U1(x),…Um(x))和V(x)=(V1(x),…,Vm(x))是两个任意函数.
同样,假设PDEs系统(1)具有局部对称(3)以及无穷小生成元(4),则对称元Vρ=(^overη)ρ[u]是对称确定的解,也就是对PDEs系统(1)的任意解u(x)存在线性系统Lσρ[u](^overη)ρ[u]=0.(9)(2)算子(8)的共轭算子由以下等式给出L*σρ[U]ωσ=(∂Pσ[U])/(∂Up)ωσ-Di((∂Pσ[U])/(∂Uρi)ωσ)+(-1)kDi1…Dik((∂Pσ[U])/(∂Uρi1…ik)ωσ),(10)(σ=1,…,r,ρ=1,…,m)其中ω(x)=(ω1(x),…ωr(x))为任意函数.
对于PDEs系统(1)的任意解U(x)=u(x),若函数集{ωσ[U]}rσ=1都满足共轭系统L*σρ[u]ωσ[u]=0,(11)则ωσ[u]称为PDEs系统(1)的共轭对称.
(3)对于给定的PDEs系统(1),任意一‘对'由对称确定的特征形式{(^overη)ρ[u]}mρ=1和共轭称(11)的解{ωσ[u]}rσ=1满足守恒恒等式ωσLσρ[U](^overη)ρ-(^overη)ρL*σρ[U]ωσ=Diψi[U],(12)则ψi[U]=∑k-1p=0∑k-p-1q=0(-1)q(Di1…Dip(^overη)ρ)×Dj1…Djq(ωσ(∂Pσ[U])/(∂Uj1…jqii1…iρp)),(13)其中j1…jp和i1…ip是有序组合,且1≤j1≤…≤jq≤i≤i1≤…≤ip≤n.
如果在(12)和(13)中U(x)=u(x),则PDEs系统(1)有局部守恒律(7).
下面,用上述方法计算两种浅水波方程组的守恒律.
先考虑一维浅水波方程组[11]ht+uhx+hux=0, ut+uux+hx=0,(14)其中时间t,位置x为自变量,水深h(x,t)和速度u(x,t)为因变量.
由上述公式(8)和(10)得到方程(15)的线性算子和共轭算子L=[hx+hDx ux+Dt
ux+uDx+Dt Dx],(15)
L=[hx-hDx ux-Dt-uDx
ux-uDx-Dt -Dx].(16)方程组(15)有如下对称:X1=∂/(∂t),X2=t∂/(∂x)+∂/(∂u),X3=t∂/(∂t)+x∂/(∂x),X4=2h∂/(∂h)+u∂/(∂u)+x∂/(∂x),
X5=hu∂/(∂h)+(1/4u2+h)∂/(∂u)+(1/2x-3/2ut)∂/(∂t)+3/4(-u2+2h)t∂/(∂x),(17)由公式(5)和(17),可以得到五组对称的特征形式:X1→((^overη)11,(^overη)12)=(-ux,-hx),
X2→((^overη)21,(^overη)22)=(1-tux,-thx),
X3→((^overη)31,(^overη)32)=(-xux-tut,-xhx-tht),
X4→((^overη)41,(^overη)42)=(u-xux,2h-xhx),
X5→((^overη)51,(^overη)52)=(1/4u2+h+3/4u2tux-3/2htux-1/2xut+3/2utut,
hu+3/4u2thx-3/2hthx-1/2xht+3/2utht),(18)由公式(11)和(16),得到关于函数(^overω)1σ=(^overω)1σ(t,x,u,h),(^overω)2σ=(^overω)2σ(t,x,u,h)的共轭系统:L*ω=[hx-hDx ux-Dt-uDx
ux-uDx-Dt -Dx]((^overω)1σ
(^overω)2σ)=(0
0),(19)经计算共轭系统(19)有以下3组解:((^overω)11,(^overω)21)=(u,h),((^overω)12,(^overω)22)=(h+1/2u2,uh),
((^overω)13,(^overω)23)=(2uh+1/3u3,u2h+h2).(20)对于浅水波方程组(14),它有3个共轭对称(20),每一个都是方程组(14)的一个守恒乘子,与方程组(14)的5个点对称配出5组守恒律.下面,通过公式(12),(13)求方程组(14)的守恒量.
首先,将(18)中的((^overη)11,(^overη)12)分别与(20)中的((^overω)11,(^overω)21),((^overω)12,(^overω)22),((^overω)13,(^overω)23)匹配,并代入公式(12)中,无法产生方程组(14)的守恒律.
然后,将(18)中的((^overη)21,(^overη)22)与(20)中的((^overω)11,(^overω)21)匹配,并代入公式(12)中,消去平凡守恒量后,使得守恒量Φt1=h, Φx1=uh;(21)同样,将(18)中的((^overη)21,(^overη)22),((^overη)31,(^overη)32),((^overη)41,(^overη)42)和(20)中的((^overω)12,(^overω)22),((^overω)11,(^overω)21),((^overω)11,(^overω)21)分别匹配,会得到守恒量Φt2=uh,
Φx2=u2h+1/2h2;(22)接下来,将(18)中的((^overη)21,(^overη)22),((^overη)31,(^overη)32),((^overη)41,(^overη)42),((^overη)51,(^overη)52)分别和(20)中((^overω)13,(^overω)23),((^overω)12,(^overω)22),((^overω)12,(^overω)22),((^overω)11,(^overω)21)匹配,会得到守恒量Φt3=u2h+h2,
Φx3=2uh2+u3h;(23)再次将(18)中的((^overη)31,(^overη)32),((^overη)41,(^overη)42),((^overη)51,(^overη)52)和(20)中的((^overω)13,(^overω)23),((^overω)13,(^overω)23),((^overω)12,(^overω)22)分别匹配,会得到守恒量Φt4=1/3u3h+uh2,
Φx4=1/3h3+1/3u4h+3/2u2h2;(24)最后,将(18)中的((^overη)51,(^overη)52)和(20)中的((^overω)13,(^overω)23)分别匹配,得到守恒量Φt5=5/(12)u4h+5/2u2h2+5/6h3,
Φx5=(10)/3u3h2+5/(12)u5h+5/2uh3.(25)2.2 二维浅水波方程组的守恒律
再考虑二维浅水波方程组[12]ht+(hu)x+(hv)y=0,
(hu)t+(hu2+1/2h2)x+(huv)y=0,
(hv)t+(hv2+1/2h2)y+(huv)x=0,(26)其中u(t,x,y),v(t,x,y)是速度矢量的分量,h(t,x,y)为水的深度.
由公式(8)和(10)得到方程组(26)的线性算子和共轭算子分别为:
L=[
hDx+hx hDy+hy Dt+ux+uDx+vy+vDyhDt+ht+2hux+2uhDx+
2uhx+vhy+hvDy+hvy uhy+huy+huDy ut+uDt+2uux+u2Dx+hx
+hDx+uvDy+uvy+vuyvhx+hvDx+hvx ht+hDt+uhx+huDx
+2hvy+2hvDy+2vhy vDt+vt+uvDx+uxv+uvx
+2vvy+v2Dy+hy+hDy
],
(27)
L*=[
-hDx+hx -hDt+ht+2hux-2uhDx
+2uhx+vhy-hvDy+hvy vhx-hvDx+hvxhy-hDy uhy+huy-huDy ht-hDt+uhx+hux-huDx
+2hvy-2hvDy+2vhy-Dt+ux-uDx
+vy-vDy ut-uDt+2uux-u2Dx+hx
-hDx-uvDy+uvy+uvy -vDt+vt-uvDx+uxv+uvx
+2vvy-v2Dy+hy-hDy
].
(28)
方程组(26)有以下9个对称X1=∂/(∂t),X2=∂/(∂x),X3=∂/(∂y),X4=t∂/(∂y)+∂/(∂v),
X5=t∂/(∂x)+∂/(∂u),X6=t∂/(∂t)+x∂/(∂x)+y∂/(∂y),
X7=u∂/(∂v)-v∂/(∂u)+x∂/(∂y)-y∂/(∂x),
X8=h∂/(∂h)+1/2u∂/(∂u)+1/2v∂/(∂v)+1/2x∂/(∂x)+1/2y∂/(∂y),
X9=-ht∂/(∂h)+(-1/2tu+1/2x)∂/(∂u)+(1/2y-1/2vt)∂/(∂v)+1/2t2∂/(∂y)+1/2xt∂/(∂x)+1/2ty∂/(∂y),(29)由公式(5)和(29),得出(26)对应的9组对称特征形式:X1→((^overη)11,(^overη)12,(^overη)13)=(-ut,-vt,-ht),
X2→((^overη)21,(^overη)22,(^overη)23)=(-ux,-vx,-hx),
X3→((^overη)31,(^overη)32,(^overη)33)=(-uy,-vy,-hy),
X4→((^overη)41,(^overη)42,(^overη)43)=(-tuy,1-tvy,-thy),
X5→((^overη)51,(^overη)52,(^overη)53)=(1-tux,-tvx,-thx),
X6→((^overη)61,(^overη)62,(^overη)63)=(-xux-yuy-tut,-xvx-yvy-tvt,-xhx-yhy-tht),
X7→((^overη)71,(^overη)72,(^overη)73)=(-v+yux-xuy,u+yvx-xvy,yhx-xhy),
X8→((^overη)81,(^overη)82,(^overη)83)=(1/2u-1/2xux-1/2yuy,1/2v-1/2xvx-1/2yvy,h-1/2xhx-1/2yhy),
X9→((^overη)91,(^overη)92,(^overη)93)=(-1/2tu+1/2x-1/2xtux-1/2tyuy-1/2t2ut,-1/2tv+1/2y-1/2xtvx
-1/2tyvy-1/2t2vt,-ht-1/2xthx-1/2tyhy-1/2t2ht),(30)由(11)和共轭算子(28),得到关于函数(^overω)1σ=(^overω)1σ(t,x,y,u,v,h),(^overω)2σ=(^overω)2σ(t,x,y,u,v,h),(^overω)3σ=(^overω)3σ(t,x,y,u,v,h)的共轭系统:
L*ω=[
-hDx+hx -hDt+ht+2hux-2uhDx
+2uhx+vhy-hvDy+hvy vhx-hvDx+hvxhy-hDy uhy+huy-huDy ht-hDt+uhx+hux-huDx
+2hvy-2hvDy+2vhy-Dt+ux-
uDx+vy-vDy ut-uDt+2uux-u2Dx+hx
-hDx-uvDy+uvy+uvy -vDt+vt-uvDx+uxv+
uvx+2vvy-v2Dy+hy-hDy
]((^overω)1σ
(^overω)2σ
(^overω)3σ)=(0
0
0).
(31)
经过求解,共轭系统(31)有以下13组解:((^overω)11,(^overω)21,(^overω)31)=(1/2ht2-1/4t2u2-1/4t2v2+1/4x2+1/4y2,1/2t2u-1/2xt,1/2t2v-1/2yt),
((^overω)12,(^overω)22,(^overω)32)=(1/2(-u2-v2+2h)t,tu-1/2x,tv-1/2y),
((^overω)13,(^overω)23,(^overω)33)=(-1/2u2-1/2v2+h,u,v),
((^overω)14,(^overω)24,(^overω)34)=(x,-t,0),((^overω)15,(^overω)25,(^overω)35)=(y,0,-t),
((^overω)16,(^overω)26,(^overω)36)=(1,0,0),((^overω)17,(^overω)27,(^overω)37)=(0,y,-x),
((^overω)18,(^overω)28,(^overω)38)=(0,1,0),((^overω)19,(^overω)29,(^overω)39)=(0,0,1),
((^overω)110,(^overω)210,(^overω)310)=(1,1,1),((^overω)111,(^overω)211,(^overω)311)=(1,1,0),
((^overω)112,(^overω)212,(^overω)312)=(1,0,1),((^overω)113,(^overω)213,(^overω)313)=(0,1,1),(32)对于二维浅水波方程组(26)的9个对称特征形式(30)和13个共轭对称(32),共配117个“对”,共产生系统(26)的18组守恒律.下面,通过公式(12),(13)求方程组(26)的守恒量.
首先,将(30)中的((^overη)11,(^overη)12,(^overη)13)与(32)中的((^overω)11,(^overω)21,(^overω)31)匹配,并代入到公式(12)中,再消去平凡守恒量后,会产生如下的守恒量:Φt1=1/2thu2+1/2thv2+1/2th2-1/2uhx-1/2vhy,
Φx1=tuh2+1/2thu3+1/2thuv2-1/2xhu2-1/2yhuv-1/4xh2,
Φy1=-1/2xhuv+h2vt+1/2u2hvt+1/2v3ht-1/2v2hy-1/2h2y.(33)然后,将((^overη)61,(^overη)62,(^overη)63),((^overη)81,(^overη)82,(^overη)83)分别与((^overω)12,(^overω)22,(^overω)32)匹配,将((^overη)91,(^overη)92,(^overη)93)与((^overω)13,(^overω)23,(^overω)33)匹配,得到与(33)式同样的守恒量.
同样的,将(30)和(32)中所有的[(^overη)λ,((^overω)1σ,(^overω)2σ,(^overω)3σ)](λ=1,2,3,4,5,6,7,8,9),(σ=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13)进行配对,得到方程(26)的如下17组守恒量:
[(^overη)1,((^overω)12,(^overω)22,(^overω)32)][(^overη)6,((^overω)13,(^overω)23,(^overω)33)],[(^overη)8,((^overω)13,(^overω)23,(^overω)33)]:
(Φt2,Φx2,Φy2)=(u2h+v2h+h2,2uh2+u3h+v2uh,u2hv+hv3+2h2v);
[(^overη)1,((^overω)14,(^overω)24,(^overω)34)],[(^overη)2,((^overω)12,(^overω)22,(^overω)32)],[(^overη)3,((^overω)17,(^overω)27,(^overω)37)],[(^overη)7,((^overω)112,(^overω)212,(^overω)312)],
[(^overη)5,((^overω)13,(^overω)23,(^overω)33)],[(^overη)6,((^overω)18,(^overω)28,(^overω)38)],[(^overη)8,((^overω)18,(^overω)28,(^overω)38)]:
(Φt3,Φx3,Φy3)=(uh,u2h+1/2h2,huv);
[(^overη)1,((^overω)15,(^overω)25,(^overω)35)],[(^overη)3,((^overω)12,(^overω)22,(^overω)32)],[(^overη)2,((^overω)17,(^overω)27,(^overω)37)],[(^overη)7,((^overω)111,(^overω)211,(^overω)311)],
[(^overη)4,((^overω)13,(^overω)23,(^overω)33)],[(^overη)6,((^overω)19,(^overω)29,(^overω)39)],[(^overη)7,((^overω)18,(^overω)28,(^overω)38)],[(^overη)8,((^overω)19,(^overω)29,(^overω)39)]:
(Φt4,Φx4,Φy4)=(vh,huv,hv2+1/2h2);
[(^overη)2,((^overω)11,(^overω)21,(^overω)31)],[(^overη)4,((^overω)17,(^overω)27,(^overω)37)],[(^overη)5,((^overω)12,(^overω)22,(^overω)32)],[(^overη)9,((^overω)111,(^overω)211,(^overω)311)],
[(^overη)6,((^overω)14,(^overω)24,(^overω)34)],[(^overη)7,((^overω)15,(^overω)25,(^overω)35)],[(^overη)8,((^overω)14,(^overω)24,(^overω)34)],[(^overη)9,((^overω)18,(^overω)28,(^overω)38)]:
(Φt5,Φx5,Φy5)=(-thu+xh,xhu-1/2thu2-1/2th2,-1/2thuv+1/2xhv);
[(^overη)2,((^overω)14,(^overω)24,(^overω)34)],[(^overη)3,((^overω)15,(^overω)25,(^overω)35)],[(^overη)5,((^overω)18,(^overω)28,(^overω)38)],[(^overη)4,((^overω)110,(^overω)210,(^overω)310)],
[(^overη)6,((^overω)16,(^overω)26,(^overω)36)],[(^overη)8,((^overω)16,(^overω)26,(^overω)36)],[(^overη)5,((^overω)110,(^overω)210,(^overω)310)],[(^overη)4,((^overω)113,(^overω)213,(^overω)313)],
[(^overη)5,((^overω)111,(^overω)211,(^overω)311)],[(^overη)4,((^overω)112,(^overω)212,(^overω)312)],[(^overη)5,((^overω)113,(^overω)213,(^overω)313)]:
(Φt6,Φx6,Φy6)=(h,hu,hv);(34)
[(^overη)3,((^overω)11,(^overω)21,(^overω)31)],[(^overη)4,((^overω)12,(^overω)22,(^overω)32)],[(^overη)5,((^overω)17,(^overω)27,(^overω)37)],[(^overη)9,((^overω)112,(^overω)212,(^overω)312)],
[(^overη)6,((^overω)15,(^overω)25,(^overω)35)],[(^overη)7,((^overω)14,(^overω)24,(^overω)34)],[(^overη)8,((^overω)15,(^overω)25,(^overω)35)],[(^overη)9,((^overω)19,(^overω)29,(^overω)39)]:
(Φt7,Φx7,Φy7)=(yh-thv,-thuv+huy,-thv2-1/2th2+yhv);
[(^overη)6,((^overω)17,(^overω)27,(^overω)37)],[(^overη)8,((^overω)17,(^overω)27,(^overω)37)]:
(Φt8,Φx8,Φy8)=(huy-xhv,u2yh-xhuv+1/2yh2,hyuv-xhv2-1/2xh2);
[(^overη)6,((^overω)11,(^overω)21,(^overω)31)],[(^overη)8,((^overω)11,(^overω)21,(^overω)31)],[(^overη)9,((^overω)12,(^overω)22,(^overω)32)]:
(Φt9,Φx9,Φy9)=(t2u2h+t2v2h-2xthu-2tyhu+t2h2+x2h+y2h,
2t2h2u+t2u3h+t2v2hu+x2uh+y2uh-2u2hxt-2huvyt-xth2,
t2u2hv+t2v3h+2t2h2v-2xthuv-2tyhv2+x2vh+y2vh-h2yt);
[(^overη)6,((^overω)110,(^overω)210,(^overω)310)]:
(Φt10,Φx10,Φy10)=(2h+2hu+2hv,2hu+2hu2+2huv+h2,2huv+2hv2+2hv+h2);
[(^overη)7,((^overω)110,(^overω)210,(^overω)310)],[(^overη)7,((^overω)113,(^overω)213,(^overω)313)]:
(Φt11,Φx11,Φy11)=(hu-hv,hu2-huv+1/2h2,huv-hv2-1/2h2);
[(^overη)8,((^overω)110,(^overω)210,(^overω)310)]:
(Φt12,Φx12,Φy12)=(2h+5/2hu+5/2hv,2hu+5/2hu2+5/2huv+5/4h2,
5/2huv+5/2hv2+2hv+5/4h2);
[(^overη)9,((^overω)110,(^overω)210,(^overω)310)],[(^overη)9,((^overω)113,(^overω)213,(^overω)313)]:
(Φt13,Φx13,Φy13)=(-thu-thv+xh+yh,-thu2-thuv-1/2th2+hux+huy,
yhv-thuv-thv2+xhv-1/2th2);
[(^overη)6,((^overω)111,(^overω)211,(^overω)311)]:
(Φt14,Φx14,Φy14)=(2hu+h,2hu+2hu2+h2,2hv+2huv);
[(^overη)8,((^overω)111,(^overω)211,(^overω)311)]:
(Φt15,Φx15,Φy15)=(5/2hu+2h,2hu+5/2hu2+5/4h2,5/2huv+2hv);
[(^overη)5,((^overω)112,(^overω)212,(^overω)312)],[(^overη)6,((^overω)112,(^overω)212,(^overω)312)]:
(Φt16,Φx16,Φy16)=(2hv+2h,2hu+2huv,2hv2+2hv+h2);
[(^overη)8,((^overω)112,(^overω)212,(^overω)312)]:
(Φt17,Φx17,Φy17)=(5/2hv+2h,2hu+5/2huv,5/2hv2+2hv+5/4h2);
[(^overη)6,((^overω)113,(^overω)213,(^overω)313)],[(^overη)8,((^overω)113,(^overω)213,(^overω)313)]:
(Φt18,Φx18,Φy18)=(2hv+2hu,2hu2+2huv+h2,2hv2+2huv+h2).
在(30)和(32)中将其余的((^overη)ρ1,(^overη)ρ2,(^overη)ρ3)与((^overω)1σ,(^overω)2σ,(^overω)3σ),进行配对,无法产生方程(26)的守恒律.
Ibragimov教授提出利用守恒律推导PDEs的微分约束方法,为守恒律、方程和解之间构建有效的通道.
假设PDEs系统(1)有以下守恒律Di(Ci)|(1)=0,(35)其中Di表示对xi的全导数,指标i表示“求和”运算,符号“|(1)”表示方程(1)的所有解u(x)均满足等式(35).系统(1)的守恒量为C=(C1,C2,…,Cn),满足方程(35),其中Ci=Ci(x,u,u(1),…),i=1,2,…,n.(36)给定系统(1)如下微分条件下微分约束条件D1[C1(x,u,u(1),…)]=0,
D2[C2(x,u,u(1),…)]=0,
……………………
Dn[Cn(x,u,u(1),…)]=0,(37)简化后,方程(37)等价于以下公式C1(x,u,u(1),…)=h1(x2,x3,…,xn),
C2(x,u,u(1),…)=h2(x1,x3,…,xn),
………………………………
Cn(x,u,u(1),…)=hn(x2,x3,…,xn-1).(38)接下来,从(38)中得到给定系统(1)中的未知函数u所满足的结构函数(h1,h2,…,hn),再把它带入(1)中,经过计算可得给定PDEs的若干精确解.
下面将该方法应用于二维浅水波方程组(26).
已知(26)的对应的守恒形式为[Dt(C1)+Dx(C2)+Dy(C3)]|(27)=0,(39)其对应的质量守恒为ht+(hu)x+(hv)y≡Dt(h)+Dx(hu)+Dy(hv)=0,(40)根据(39)可知其对应的守恒量为C1=h,C2=uh,C3=vh,(41)由(37),(38)可知(41)可变为如下形式h=f(x,y),uh=g(t,y),vh=p(t,x),(42)其中f(x,y),g(t,y),p(t,x)为任意函数.
因此,得到方程(26)的解为:h=f(x,y),u=(g(t,y))/(f(x,y)),v=(p(t,x))/(f(x,y)),(43)将(43)代入(26),然后方程(26)的第二个和第三个方程作差得pt(t,x)-gt(t,y)+(g(t,y)px(t,x)-p(t,x)gy(t,y))/(f(x,y))+(p(t,x)g(t,y)[fy(x,y)-fx(x,y)])/(f2(x,y))
+(g2(t,y)fx(x,y)-p2(t,x)fy(x,y))/(f2(x,y))+f(x,y)[fy(x,y)-fx(x,y)]=0.
(44)由(44)可知pt(t,x)-gt(t,y)=0,
fx(x,y)-fy(x,y)=0,
p(t,x)-g(t,y)=0,
px(t,x)-gy(t,y)=0,(45)解之,得:f(x,y)=f(x+y),
p(t,x)=g(t,y)=q(t),(46)将(46)代入(43)中,得到(26)的解为h=f(x+y),
u=(q(t))/(f(x+y)),
v=(q(t))/(f(x+y)).(47)由于f(x+y)和q(t)是任意函数,因此方程(26)有无穷多解.据已知相关的
参考文献及知识,该解(47)是种新型精确解.
在本文中,基于对称理论和守恒律框架,利用对称-共轭对称‘对'的方法,得到两种重要浅水波方程的守恒律,并结合微分约束方法推出二维浅水波方程组的精确解.对称-共轭对称‘对'方法主要是由共轭系统的解和对称所得到的特征形式相匹配成“对”,再运用斜对称公式来构造其对应的守恒律.然后,通过已知守恒律采用微分约束方法构造了二维浅水波方程的精确解.上述两种方法揭示了有关PDEs的对称、共轭对称及其守恒律与精确解之间的内在联系,对PDEs属性研究方面具有重要的理论意义.
